Invertált inga: vezérléselmélet és dinamika: 17 lépés (képekkel)

2024 Szerző: John Day | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-30 09:41

A fordított inga klasszikus probléma a dinamika és a szabályozás elméletében, amelyet általában középiskolai és egyetemi fizika vagy matematika kurzusokon dolgoznak fel. Mivel magam is matematika- és természettudományi rajongó voltam, úgy döntöttem, hogy megpróbálom megvalósítani azokat a koncepciókat, amelyeket az óráim során megtanultam egy fordított inga felépítéséhez. Az ilyen fogalmak alkalmazása a valós életben nem csak a fogalmak megértésének megerősítését segíti elő, hanem a problémák és kihívások teljesen új dimenziójába is betekintést nyújt, amelyek a gyakorlatiassággal és a valós élethelyzetekkel foglalkoznak, amelyekkel soha nem találkozhat az ember elméletórákon.

Ebben az utasításban először bemutatom a fordított inga problémát, majd kitérek a probléma elméleti vonatkozására, majd megvitatom a hardvert és a szoftvert, amely e koncepció életre keltéséhez szükséges.

Azt javaslom, hogy nézze meg a fent csatolt videót, miközben végigmennek az utasításokon, ami jobb megértést biztosít.

Végül, kérjük, ne felejtse el leadni a szavazást az „Osztálytermi Tudományos Versenyen”, ha tetszett ez a projekt, és nyugodtan tegyen fel kérdéseket az alábbi megjegyzések részben. Boldog alkotást!:)

1. lépés: A probléma

A fordított inga probléma hasonló a seprű vagy a hosszú pólus kiegyensúlyozásához a tenyerén, amit legtöbbünk gyerekkorában kipróbált. Amikor a szemünk látja, hogy a pólus egy bizonyos oldalra esik, ezt az információt továbbítja az agynak, amely bizonyos számításokat végez, majd utasítja a karját, hogy bizonyos sebességgel mozogjon egy bizonyos pozícióba, hogy ellensúlyozza a pólus mozgását, ami remélhetőleg billenőpálca vissza függőleges helyzetbe. Ez a folyamat másodpercenként több százszor megismétlődik, ami a pólust teljesen az Ön irányítása alatt tartja. A fordított inga hasonló módon működik. A cél az, hogy az inga fejjel lefelé egyensúlyozhasson a kocsin, amely szabadon mozoghat. Szemek helyett érzékelőt használnak az inga helyzetének érzékelésére, amely elküldi az információt egy számítógéphez, amely bizonyos számításokat végez, és utasítja a hajtóműveket, hogy mozgassa a kocsit úgy, hogy az inga ismét függőleges legyen.

2. lépés: A megoldás

Az inga fejjel lefelé kiegyensúlyozásának problémája betekintést igényel a rendszerben játszott mozgásokba és erőkbe. Végül ez a betekintés lehetővé teszi számunkra, hogy a rendszer "mozgási egyenleteit" állítsuk elő, amelyek segítségével kiszámíthatjuk a kapcsolatokat a hajtóművek kimenete és az érzékelőkből származó bemenetek között.

A mozgásegyenletek kétféleképpen származtathatók szintjétől függően. Ezeket vagy Newton alaptörvényei és néhány középiskolai matematika segítségével, vagy a lagrangi mechanika segítségével lehet levezetni, amelyet általában az egyetemi fizika tanfolyamokon vezetnek be. (Megjegyzés: A mozgásegyenletek levezetése Newton törvényei alapján egyszerű, de fárasztó, míg a lagrangi mechanika használata sokkal elegánsabb, de megköveteli a lagrangiai mechanika megértését, bár végül mindkét megközelítés ugyanahhoz a megoldáshoz vezet).

Mindkét megközelítés és formális levezetésük általában a matematika vagy fizika középiskolai vagy egyetemi óráin szerepel, bár könnyen megtalálhatók egy egyszerű Google -kereséssel vagy ezen a linken. A mozgás végső egyenleteit figyelve négy mennyiség közötti összefüggést észlelünk:

• Az inga szöge a függőlegeshez képest
• Az inga szögsebessége
• Az inga szöggyorsulása
• A kocsi lineáris gyorsulása

Ahol az első három olyan mennyiség, amelyet az érzékelő fog mérni, az utolsó mennyiséget pedig a működtetőhöz küldik végrehajtani.

3. lépés: Vezérléselmélet

A vezérléselmélet a matematika alterülete, amely a dinamikus rendszerek vezérlésével és működtetésével foglalkozik a tervezett folyamatokban és gépekben. A cél egy vezérlőmodell vagy vezérlőhurok kifejlesztése a stabilitás elérése érdekében. Esetünkben a fejjel lefelé álló inga egyensúlya.

A vezérlőhurkok két fő típusa létezik: nyílt hurkú vezérlés és zárt hurkú vezérlés. Nyílt hurkú vezérlés megvalósításakor a vezérlési művelet vagy a vezérlőből származó parancs független a rendszer kimenetétől. Jó példa erre a kemence, ahol a kemence bekapcsolási ideje tisztán az időzítőtől függ.

Míg egy zárt hurkú rendszerben a vezérlő parancsai a rendszer állapotától kapott visszajelzésektől függenek. Esetünkben a visszacsatolás az inga szöge a normálhoz viszonyítva, amely meghatározza a kocsi sebességét és helyzetét, így ez a rendszer zárt hurkú rendszer. A fentiekben egy zárt hurkú rendszer tömbvázlata formájában látható vizuális ábrázolás látható.

Számos visszacsatolási mechanizmus létezik, de az egyik legszélesebb körben használt az arányos – integrál -származtatott szabályozó (PID -szabályozó), amelyet használni fogunk.

Megjegyzés: Az ilyen vezérlők működésének megértése nagyon hasznos egy sikeres vezérlő kifejlesztésében, bár az ilyen vezérlő működésének magyarázata túlmutat ezen utasítás keretein. Abban az esetben, ha még nem találkozott ilyen típusú vezérlőkkel a kurzusán, számos anyag található az interneten, és egy egyszerű Google -keresés vagy egy online tanfolyam segít.

4. lépés: A projekt megvalósítása az osztályteremben

Korcsoport: Ez a projekt elsősorban középiskolásoknak vagy egyetemistáknak szól, de a kisebb gyermekek számára egyszerűen bemutatásként is bemutatható a fogalmak áttekintésével.

Lefedett fogalmak: A projekt fő témái a dinamika és a vezérléselmélet.

Szükséges idő: Miután az összes alkatrészt összegyűjtötték és elkészítették, az összeszerelés 10-15 percet vesz igénybe. A kontrollmodell létrehozása több időt igényel, ehhez a tanulók 2-3 napot kaphatnak. Miután minden egyes tanuló (vagy diákcsoportok) kifejlesztette saját kontrollmodelljeit, egy másik nap használható az egyének vagy a csapatok bemutatására.

Ennek a projektnek az osztályteremben való megvalósításának egyik módja a rendszer kiépítése (a következő lépésekben ismertetjük), miközben a köteg a fizika dinamikával kapcsolatos altémáin dolgozik, vagy miközben matematikaórákon tanulmányozzák a vezérlőrendszereket. Ily módon az órák során felmerülő ötletek és koncepciók közvetlenül megvalósíthatók egy valós alkalmazásba, így fogalmaik sokkal világosabbak, mert nincs jobb módja egy új koncepció elsajátításának, mint a valós életben való megvalósításával.

Egyetlen rendszert lehet felépíteni, együtt osztályként, majd az osztályt csapatokra lehet osztani, amelyek mindegyike a semmiből épít egy vezérlőmodellt. Ezután minden csapat bemutathatja munkáját egy versenyformátumban, ahol a legjobb vezérlőmodell az, amelyik a leghosszabb egyensúlyt képes kiegyensúlyozni, és ellenáll az ütéseknek és robusztusan.

Egy másik módszer ennek a projektnek az osztályteremben történő megvalósítására az lenne, ha idősebb gyerekeket (középiskolai szintet) készítene, kifejlesztené ezt a projektet, és bemutatná a fiatalabb gyermekeknek, miközben áttekintést nyújt számukra a dinamikáról és az ellenőrzésekről. Ez nemcsak a fizika és a matematika iránti érdeklődést válthatja ki a fiatalabb gyermekeknél, hanem segít az idősebb diákoknak is elméletük fogalmainak kristályosításában, mert az egyik legjobb módja annak, hogy megerősítsék fogalmaikat, ha elmagyarázzák másoknak, különösen a fiatalabb gyermekeknek, ahogy szükséges. nagyon egyszerűen és világosan fogalmazza meg elképzeléseit.

5. lépés: Alkatrészek és kellékek

A kocsi szabadon mozoghat egy sor síneken, ami egyetlen szabadságot biztosít számára. Íme az alkatrészek és kellékek, amelyek az inga, valamint a kocsi- és sínes rendszer elkészítéséhez szükségesek:

Elektronika:

• Egy Arduino kompatibilis tábla, bármelyik működni fog. Javaslom az Uno -t, ha nem vagy túl tapasztalt az elektronikában, mert egyszerűbb lesz követni.
• Egy Nema17 léptetőmotor, amely a kocsi működtetőjeként fog működni.
• Egy léptetőmotor -meghajtó, ismét bármi működni fog, de én az A4988 -as léptetőmotor -meghajtót ajánlom, mert egyszerűbb lesz követni.
• Egy MPU-6050 hattengelyes (Gyro + gyorsulásmérő), amely érzékeli a különböző paramétereket, például az inga szögét és szögsebességét.
• Egy 12V 10A tápegység, 10A valójában enyhe túlzás ehhez a projekthez, bármi 3A felett működik, de az extra áram lehívásának lehetősége lehetővé teszi a jövőbeni fejlesztést, ahol több áramra lehet szükség.

Hardver:

• 16 x csapágy, gördeszka csapágyakat használtam, és nagyszerűen működtek
• 2 x GT2 szíjtárcsa és szíj
• Körülbelül 2,4 méter 1,5 hüvelykes PVC cső
• Egy csomó 4 mm -es anya és csavar

A projektben használt alkatrészek egy része 3D nyomtatással is készült, ezért a 3D nyomtató használata nagyon hasznos lesz, bár a helyi vagy online 3D nyomtatási lehetőségek általában rendelkezésre állnak.

Az összes alkatrész összköltsége valamivel kevesebb, mint 50 USD (a 3D nyomtató nélkül)

6. lépés: 3D nyomtatott alkatrészek

A kocsi- és sínes rendszer egyes részeit egyedileg kellett elkészíteni, ezért az Autodesk ingyenes Fusion360 -as verzióját használtam a cad fájlok modellezésére és 3D nyomtatására 3D nyomtatón.

Néhány tisztán 2D alakú alkatrész, például az inga és a portálágy, lézerrel lett vágva, mivel sokkal gyorsabb volt. Az összes STL fájl csatolva van a tömörített mappában. Itt található az összes alkatrész teljes listája:

• 2 x Gantry Goller
• 4 x zárósapka
• 1 x léptető konzol
• 2 x alapjárati szíjtárcsa csapágy tartó
• 1 x ingatartó
• 2 x övcsat
• 1 x ingacsapágy tartó (a)
• 1 x ingacsapágy tartó (b)
• 1 x szíjtárcsa lyuk távtartó
• 4 x csapágy lyuk távtartó
• 1 x Gantry Plate
• 1 x léptető tartó lemez
• 1 x alapjárati szíjtárcsa tartó lemez
• 1 x inga (a)
• 1 x inga (b)

Összesen 24 rész található, amelyek nyomtatása nem tart sokáig, mivel az alkatrészek kicsik és együtt nyomtathatók. Ennek az utasításnak a során a listában szereplő nevek alapján fogok hivatkozni a részekre.

7. lépés: A portálhengerek összeszerelése

A portálhengerek olyanok, mint a szekér kerekei. Ezek végiggurulnak a PVC pályán, ami lehetővé teszi a kocsi zökkenőmentes mozgását minimális súrlódással. Ehhez a lépéshez fogja meg a két 3D nyomtatott portálhengert, 12 csapágyat és egy csomó anyát és csavart. Görgőnként 6 csapágyra lesz szüksége. Rögzítse a csapágyakat a görgőhöz az anyák és csavarok segítségével (referenciaként használja a képeket). Miután minden henger elkészült, csúsztassa őket a PVC csőre.

8. lépés: A meghajtórendszer (léptetőmotor) összeszerelése

A kocsit egy szabványos Nema17 léptetőmotor hajtja. Rögzítse a motort a léptető konzolba a csavarokkal, amelyeknek a léptetővel együtt kellett volna lenniük. Ezután csavarja fel a konzolt a léptető tartó lemezére, igazítsa a konzolon lévő 4 lyukat a lemezen lévő 4 lyukhoz, és anyákkal és csavarokkal rögzítse a kettőt. Ezután szerelje fel a GT2 szíjtárcsát a motor tengelyére, és rögzítse a 2 végsapkát alulról a léptető tartó lemezéhez, több anya és csavar segítségével. Ha kész, csúsztathatja a zárófedeleket a csövekre. Abban az esetben, ha az illeszkedés túlságosan megfelelő, ahelyett, hogy a zárósapkákat a csövekre kényszerítené, azt javaslom, hogy csiszolja a 3D nyomtatott zárófedél belső felületét, amíg az illeszkedés szoros nem lesz.

9. lépés: A meghajtórendszer (alapjárati tárcsa) összeszerelése

Az általam használt anyák és csavarok 4 mm átmérőjűek voltak, bár a szíjtárcsán és a csapágyakon lévő furatok 6 mm -esek voltak, ezért kellett 3D nyomtatási adaptereket behelyeznem, és be kell tolnom őket a szíjtárcsa és a csapágy lyukaiba. billeg a csavaron. Ha megfelelő méretű anyákkal és csavarokkal rendelkezik, akkor ezt a lépést nem kell elvégeznie.

Szerelje be a csapágyakat az alapjárati szíjtárcsa csapágytartójába. Ismételten, ha az illesztés túl szoros, csiszolópapírral enyhén csiszolja az üresjárati szíjtárcsa csapágytartó belső falát. Hajtson át egy csavart az egyik csapágyon, majd csúsztasson egy szíjtárcsát a csavarra, és zárja le a másik végét a második csapágy és üresjárati szíjtárcsa csapágy tartó készlettel.

Ha ez megtörtént, rögzítse a pár üresjárati szíjtárcsa csapágy tartóját az üresjárati szíjtárcsa tartó lemezére, és rögzítse a zárófedeleket a lemez alsó felületéhez, az előző lépéshez hasonlóan. Végül zárja le a két PVC cső másik végét ezekkel a zárósapkákkal. Ezzel a kosár sínei teljesek.

10. lépés: A portál összeszerelése

A következő lépés a kocsi felépítése. Rögzítse a két görgőt a portállemez és a 4 anya és csavar segítségével. A portállemezek résekkel vannak ellátva, így a lemez helyzetét könnyedén beállíthatja.

Ezután szerelje fel a két övcsatlakozót a portállemez mindkét oldalára. Ügyeljen arra, hogy alulról rögzítse őket, különben az öv nem lesz azonos szinten. Ügyeljen arra is, hogy a csavarokat alulról vezesse be, mert ellenkező esetben, ha a csavarok túl hosszúak, akadályozhatják az övet.

Végül rögzítse az ingatartót a kocsi elejére anyákkal és csavarokkal.

11. lépés: Az inga összeszerelése

Az inga két darabból készült, egyszerűen az anyagtakarékosság érdekében. A két darabot összeragaszthatja a fogak összehangolásával és szuperragasztásával. Ismét nyomja be a csapágyfuratok távtartóit a két csapágyba, hogy kompenzálja a kisebb csavarátmérőket, majd nyomja be a csapágyakat a két ingacsapágy tartóelem csapágynyílásaiba. Rögzítse a két 3D -s nyomtatott részt az inga alsó végének mindkét oldalán, és rögzítse a 3 -at egymáshoz 3 anyával és csavarral, amelyek áthaladnak az ingacsapágy -tartókon. Húzzon át egy csavart a két csapágyon, és rögzítse a másik végét egy megfelelő anyával.

Ezután fogja meg az MPU6050 -et, és rögzítőcsavarokkal rögzítse az inga másik végéhez.

12. lépés: Az inga és a szíjak felszerelése

Az utolsó lépés az inga felszerelése a kocsira. Ehhez hajtsa át a csavart, amelyet korábban áthajtott a két ingacsapágyon, az ingatartón lévő lyukon keresztül, amely a kocsi elejéhez van rögzítve, és a másik végén lévő anyával rögzítse az ingat a kocsira.

Végül fogd meg a GT2 övedet, és először rögzítsd egyik végét az egyik övcsathoz, amely a kocsira van rögzítve. Ehhez egy ügyes 3D nyomtatható övcsipeszt használtam, amely az öv végére csípődik, és megakadályozza, hogy átcsússzon a keskeny résen. Ennek a darabnak a stl -i ezen a linken találhatók meg a Thingiverse -n. Csavarja be az övet egészen a léptetőgörgő és az alapjárati szíjtárcsa körül, és rögzítse az öv másik végét a szekér másik végén lévő övrögzítő darabhoz. Feszítse meg az övet, miközben ügyeljen arra, hogy ne húzza meg túlságosan, vagy ne veszítse el, és ezzel elkészült az inga és a kocsi!

13. lépés: Kábelezés és elektronika

A huzalozás az MPU6050 csatlakoztatását jelenti az Arduino -hoz és a meghajtó rendszer vezetékeit. Az egyes alkatrészek csatlakoztatásához kövesse a fenti csatolt kapcsolási rajzot.

MPU6050 - Arduino:

• GND - GND
• +5v és +5v között
• SDA -tól A4 -ig
• SCL - A5
• Int a D2

Léptetőmotor és léptetővezető:

• Tekercs 1a) 1A
• Tekercs 1 (b) - 1B
• Tekercs 2 (a) - 2A
• Tekercs 2 (b) - 2B

Léptető Arduino felé:

• GND - GND
• VDD +5v -ig
• LÉPÉS a D3
• DIR - D2
• VMOT a tápegység pozitív kivezetésére
• GND a tápegység földeléséhez

A léptető meghajtó alvó és visszaállító csapjait jumperrel kell csatlakoztatni. És végül, jó ötlet egy körülbelül 100 uF nagyságú elektrolit kondenzátort párhuzamosan csatlakoztatni a tápegység pozitív és földelő kapcsaihoz.

14. lépés: A rendszer vezérlése (arányos vezérlés)

Kezdetben úgy döntöttem, hogy kipróbálok egy alapvető arányos vezérlőrendszert, vagyis a kocsi sebessége egyszerűen arányos egy bizonyos tényezővel az inga függőlegeshez viszonyított szögével. Ez egyszerűen egy teszt volt, hogy megbizonyosodjon arról, hogy minden alkatrész megfelelően működik. Bár ez az alapvető arányos rendszer elég robusztus volt ahhoz, hogy az inga már egyensúlyban legyen. Az inga még a szelíd lökéseket és lökéseket is ellenállta. Bár ez a vezérlőrendszer feltűnően jól működött, még mindig volt néhány probléma. Ha megnézzük az IMU -értékek grafikonját egy bizonyos idő alatt, akkor egyértelműen ingadozásokat észlelhetünk az érzékelő leolvasásában. Ez azt jelenti, hogy amikor a vezérlő megpróbál korrekciót végrehajtani, az mindig bizonyos mértékű túllépést jelent, ami valójában az arányos vezérlőrendszer természete. Ez az enyhe hiba kijavítható egy másik típusú vezérlő alkalmazásával, amely figyelembe veszi ezeket a tényezőket.

Az arányos vezérlőrendszer kódja alább található. A kód néhány további könyvtár támogatását igényli, amelyek az MPU6050 könyvtár, a PID könyvtár és az AccelStepper könyvtár. Ezeket az Arduino IDE integrált könyvtárkezelőjével töltheti le. Egyszerűen lépjen a Vázlat >> Könyvtár beillesztése >> Könyvtárak kezelése elemre, majd keresse meg a PID, MPU6050 és AccelStepper alkalmazásokat a keresősávban, és telepítse őket a Telepítés gombra kattintva.

Bár azt tanácsolom mindazoknak, akik rajongnak a tudományért és a matematikáért, az lenne, ha megpróbálnának egy ilyen kontrollert építeni a semmiből. Ez nemcsak megerősíti a dinamikával és a vezérlési elméletekkel kapcsolatos elképzeléseit, hanem lehetőséget ad arra is, hogy tudását a valós életben történő alkalmazásokban is megvalósítsa.

15. lépés: A rendszer vezérlése (PID -szabályozás)

Általánosságban elmondható, hogy a valós életben, ha egy vezérlőrendszer elég robusztusnak bizonyul alkalmazására, a mérnökök általában csak befejezik a projektet, és nem bonyolítják túl a helyzeteket összetettebb vezérlőrendszerek használatával. De a mi esetünkben ezt a fordított ingát pusztán oktatási célból építjük. Ezért megpróbálhatunk bonyolultabb vezérlőrendszerek felé haladni, mint például a PID -szabályozás, amely sokkal robusztusabbnak bizonyulhat, mint egy alapvető arányos vezérlőrendszer.

Bár a PID szabályozás sokkal bonyolultabb volt, ha helyesen hajtották végre, és megtalálták a tökéletes hangolási paramétereket, az inga lényegesen jobban kiegyensúlyozott. Ezen a ponton ellenállhat a könnyű rázkódásoknak is. Az IMU adott időn keresztül kapott leolvasásai (fent csatolva) azt is bizonyítják, hogy a leolvasott értékek soha nem mennek túl messzire a kívánt alapértékhez, azaz a függőlegeshez, ami azt mutatja, hogy ez a vezérlőrendszer sokkal hatékonyabb és robusztusabb, mint az alapvető arányos szabályozás.

Ismét azt tanácsolom mindazoknak, akik a természettudományok és a matematika iránt rajongók, az lenne, ha megpróbálnák a semmiből létrehozni a PID -szabályozót, mielőtt az alábbi csatolt kódot használnák. Ezt kihívásnak lehet tekinteni, és soha nem lehet tudni, hogy valaki olyan vezérlőrendszert állíthat elő, amely sokkal robusztusabb, mint bármi, amit eddig megpróbáltak. Bár az Arduino számára már rendelkezésre áll egy robusztus PID könyvtár, amelyet Brett Beauregard fejlesztett ki, és amelyet az Arduino IDE könyvtárkezelőjétől telepíthet.

Megjegyzés: Minden vezérlőrendszert és annak eredményét az első lépésben csatolt videó mutatja be.

16. lépés: További fejlesztések

Az egyik dolog, amit ki akartam próbálni, egy "felhajtó" funkció volt, ahol az inga kezdetben a szekér alatt lóg, és a kocsi néhány gyors fel-le mozdulatot tesz a pálya mentén, hogy felfüggeszthesse az ingát. fejjel lefelé fordított helyzetbe. Ez azonban nem volt megvalósítható a jelenlegi konfigurációval, mert egy hosszú kábelnek kellett összekötnie az inerciális mérőegységet az Arduino -val, ezért az inga által megtett teljes kör miatt a kábel elcsavarodhat és megrekedhet. Ezt a problémát úgy lehet kezelni, hogy az inga tengelyéhez rögzített forgó jeladót használunk a legvégén lévő tehetetlenségi mérőegység helyett. Enkóder esetén a tengely az egyetlen dolog, ami forog az inga mellett, míg a test álló helyzetben marad, ami azt jelenti, hogy a kábelek nem csavarodnak el.

A második jellemző, amit ki akartam próbálni, az volt, hogy kiegyensúlyoztam a kettős ingat a kocsin. Ez a rendszer két, egymás után összekapcsolt ingaból áll. Bár az ilyen rendszerek dinamikája sokkal összetettebb és sokkal több kutatást igényel.

17. lépés: Végeredmények

Egy ilyen kísérlet pozitívan megváltoztathatja az osztály hangulatát. Általában a legtöbb ember szívesebben alkalmazza a fogalmakat és ötleteket, hogy kikristályosítsa őket, ellenkező esetben az ötletek "a levegőben" maradnak, ami miatt az emberek hajlamosak gyorsabban elfelejteni őket. Ez csak egy példa volt arra, hogy bizonyos, az óra során elsajátított fogalmakat a valós alkalmazásban alkalmazzanak, bár ez minden bizonnyal lelkesedést vált ki a diákokban, hogy végül megpróbálják saját kísérleteiket kitalálni az elméletek tesztelésére, ami sokkal inkább a jövőbeli osztályokat teszi majd lehetővé. élénk, ami arra készteti őket, hogy többet tanuljanak, ami újabb kísérletekkel áll elő, és ez a pozitív ciklus addig tart, amíg a jövő tantermei tele lesznek ilyen szórakoztató és élvezetes kísérletekkel és projektekkel.

Remélem, ez még sok kísérlet és projekt kezdete lesz! Ha tetszett ez az oktatható, és hasznosnak találta, kérjük, dobjon egy szavazást az "Osztálytermi Tudományos Versenyen", és minden észrevételt vagy javaslatot szívesen fogadunk! Köszönöm!:)

Második hely az osztálytermi tudományos versenyen