Gauss és parabola a kísérleti lámpa LED -es fényáramának tanulmányozásához: 6 lépés

2024 Szerző: John Day | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-30 09:39

Üdv minden készítőnek és az Instructable nyüzsgő közösségének.

A Merenel Research ezúttal egy tiszta kutatási problémát és egy megoldási módot kínál Önnek matematikával.

Magam is tapasztaltam ezt a problémát, miközben kiszámítottam az általam épített RGB LED -lámpa LED -fluxusait (és amelyeket megtanítok építeni). Miután alaposan rákerestem az interneten, nem találtam választ, ezért itt közzéteszem a megoldást.

A PROBLÉMA

A fizikában nagyon gyakran olyan görbékkel kell foglalkoznunk, amelyek a Gauss -eloszlás alakját képviselik. Igen! Ez a valószínűség kiszámításához használt harang alakú görbe, amelyet a nagyszerű matematikus, Gauss mutatott be nekünk.

A Gauss -görbét széles körben használják a valós fizikai alkalmazásokban, különösen akkor, ha a sugárzást forrásból kell terjeszteni vagy vevőből kell fogadni, például:

- a rádiójel (pl. Wi-Fi) teljesítményének kibocsátása;

- a LED által kibocsátott fényáram;

- fotodióda leolvasása.

A gyártó adatlapján gyakran megadjuk a Gauss -terület tényleges értékét, amely a teljes sugárzási teljesítmény vagy fényáram a spektrum egy bizonyos részén (pl. Egy LED -nél), de nehéz lesz kiszámítani a tényleges sugárzást a görbe csúcsán bocsátanak ki, vagy még nehezebb megismerni két közeli forrás átfedő sugárzását, például ha több mint egy LED -el világítunk (pl. kék és zöld).

Ebben az oktatható dokumentumban elmagyarázom, hogyan közelítheti a Gauss -görbét egy könnyebben megfogható görbével: egy parabola. Válaszolok a kérdésre: hány Gauss -görbe van egy parabolában?

SPOILER → A VÁLASZ:

A Gauss -terület mindig 1 egység.

A megfelelő, azonos alapú és magasságú parabola területe 2,13 -szor nagyobb, mint a relatív Gauss -terület (lásd a képen a grafikus bemutatást).

Tehát egy Gauss -féle a parabola 46,94% -a, és ez a kapcsolat mindig igaz.

Ez a két szám így kapcsolódik 0,46948 = 1/2,13, ez a szigorú matematikai összefüggés a Gauss -görbe és a parabola között, és fordítva.

Ebben az útmutatóban lépésről lépésre felfedezem ezt.

Az egyetlen eszköz, amire szükségünk lesz, a Geogebra.org, egy nagyszerű online matematikai eszköz a diagramok rajzolásához.

A Geogebra diagram, amelyet egy parabola és egy Gauss -összehasonlításhoz készítettem, ezen a linken található.

Ez az oktatható hosszú, mert egy bemutatóról szól, de ha gyorsan meg kell oldania ugyanazt a problémát, mint a LED -es fényáramoknál, vagy más jelenséget, amely átfedi a Gauss -görbéket, kérjük, ugorjon a táblázathoz, amelyet a lépésnél csatolva talál. Az útmutató 5. pontja, amely megkönnyíti az életét, és automatikusan elvégzi az összes számítást az Ön számára.

Remélem, tetszik az alkalmazott matematika, mert ez az oktatható erről szól.

1. lépés: A monokromatikus LED -ről kibocsátott fény megértése

Ebben az elemzésben egy sor színes LED -et fogok figyelembe venni, amint a spektrumábrájukból (az első képen) jól látszik, a spektrális teljesítményeloszlásuk valóban úgy néz ki, mint egy Gauss -eloszlás, amely az x tengelyhez közeledik az átlag -33 és +33 nm -nél (gyártók általában ezt a specifikációt adja). Azonban vegye figyelembe, hogy ennek a táblázatnak az ábrázolása normalizálja az összes spektrumot egyetlen tápegységben, de a LED -ek eltérő teljesítményűek attól függően, hogy mennyire hatékonyan gyártják és mennyi elektromos áramot (mA) táplálnak be.

Amint láthatja, néha két LED fényáramlása átfedi a spektrumot. Tegyük fel, hogy könnyen ki akarom számítani ezeknek a görbéknek az átfedő területét, mert ezen a területen kétszeres erő lesz, és szeretném tudni, hogy mennyi teljesítményünk van lumen tempóban (lm), nos, ez nem az Egy egyszerű feladat, amelyet ebben az útmutatóban megpróbálunk megválaszolni. A probléma azért merült fel, mert amikor a kísérleti lámpát építettem, nagyon szerettem volna tudni, hogy a kék és a zöld spektrum mennyiben fedik egymást.

Csak a monokromatikus LED -ekre összpontosítunk, amelyek a spektrum szűk részén bocsátanak ki. A diagramon: KIRÁLYKÉK, KÉK, ZÖLD, NARANCS-PIROS, PIROS. (Az általam épített lámpa RGB)

FIZIKA HÁTTÉR

Térjünk vissza egy kicsit, és kezdjünk egy kis fizikai magyarázattal.

Minden LED -nek van színe, vagy inkább tudományosan azt mondanánk, hogy hullámhossza (λ) határozza meg, és amelyet nanométerben (nm) és λ = 1/f -ben mérünk, ahol f a foton lengési frekvenciája.

Tehát amit RED -nek nevezünk, az alapvetően egy (nagy) fotoncsomó, amely 630 nm -en oszcillál, ezek a fotonok az anyagot ütik és a szemünkbe ugrálnak, amelyek receptorokként működnek, majd az agyad feldolgozza a tárgy színét PIROSAN; vagy a fotonok közvetlenül a szemedbe kerülhetnek, és látnád, hogy a LED, amely kibocsátja őket, PIROS színben izzik.

Felfedezték, hogy amit fénynek nevezünk, az az elektromágneses spektrumnak csak egy kis része, 380 nm és 740 nm között; tehát a fény elektromágneses hullám. A spektrum ezen részén az a furcsa, hogy pontosan a spektrum egy része jut könnyebben át a vízen. Találd ki? Ősi őseink az őslevesből valójában vízben voltak, és ott, ahol az első, összetettebb élőlények szeme fejlődni kezdett. Javaslom, hogy nézze meg a csatolt Kurzgesagt videóját, hogy jobban megértse, mi a fény.

Összefoglalva, egy LED fényt bocsát ki, ami bizonyos mennyiségű radiometrikus teljesítmény (mW) egy bizonyos hullámhosszon (nm).

Általában, amikor a látható fényről van szó, nem radiometrikus teljesítményről (mW) beszélünk, hanem fényáramról (lm), amely az emberi szem látható fényére adott válasz mértékegysége. kandela mértékegysége, és lumenben (lm) mérik. Ebben az előadásban a lumenek által kibocsátott LED -eket fogjuk figyelembe venni, de minden pontosan ugyanolyan mértékben vonatkozik az mW -ra.

A gyártó minden LED adatlapon megadja az alábbi információkat:

Például ebből a mellékelt adatlapból láthatja, hogy ha mindkét vezetéket 100 mA -es árammal táplálja, akkor a következőket kapja:

A KÉK 480 nm -en áll és 11 lm fényárammal rendelkezik;

A ZÖLD 530 nm -es és 35 lm fényáramú.

Ez azt jelenti, hogy a kék Gauss -görbe magasabb lesz, többet fog tüskésedni, anélkül, hogy szélessége módosulna, és ingadozni fog a kék vonallal határolt rész körül. Ebben a cikkben elmagyarázom, hogyan kell kiszámítani a LED által kibocsátott teljes csúcsteljesítményt kifejező Gauss -magasságot, nem csak a spektrum ezen részében kibocsátott teljesítményt, sajnos ez az érték alacsonyabb lesz. Továbbá megpróbálom közelíteni a két LED átfedő részét annak megértéséhez, hogy mennyi fényáram van átfedésben, amikor olyan LED -ekkel van dolgunk, amelyek "szomszédok" a spektrumban.

A LED -ek fluxusának mérése nagyon összetett kérdés, ha szeretne többet megtudni, feltöltöttem egy részletes dokumentumot az Osramtól, amely elmagyarázza, hogyan kell csinálni.

2. lépés: Bevezetés a parabolába

Nem részletezem a parabolát, mivel azt az iskolában alaposan tanulmányozzák.

A parabola egyenlete a következő formában írható fel:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES SEGÍT NEKÜNK

Amit alá akarok húzni, az Archimedes fontos geometriai tétele. Amit a tétel mond, az az, hogy egy téglalapban korlátozott parabola területe egyenlő a téglalap területének 2/3 -ával. A parabola első képén látható, hogy a kék terület 2/3 -a, a rózsaszín pedig a téglalap területének 1/3 -a.

A parabolát és annak egyenletét kiszámíthatjuk a parabola három pontjának ismeretében. Esetünkben kiszámítjuk a csúcsot, és ismerjük az x tengely metszéspontjait. Például:

KÉK LED Csúcs (480,?) A csúcs Y értéke megegyezik a csúcshullámhosszon kibocsátott fényteljesítménnyel. Ennek kiszámításához a Gauss -terület (a LED által kibocsátott tényleges fluxus) és a parabola területe közötti összefüggést fogjuk használni, és Arkhimédész tétele alapján ismerjük meg a téglalap magasságát, amely tartalmazza ezt a parabolát.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLIC MODEL

A feltöltött képet tekintve egy bonyolult modellt láthat, amely parabolákkal ábrázol több különböző LED -fényáramot, de tudjuk, hogy a képviseletük nem teljesen olyan, mint inkább egy Gauss -féle.

Parabolákkal azonban matematikai képletek segítségével megtalálhatjuk több parabola összes metszéspontját, és kiszámíthatjuk a metsző területeket.

Az 5. lépésben csatoltam egy táblázatot, amelybe minden képletet beillesztettem, hogy kiszámítsam a monokromatikus LED -ek összes paraboláját és azok metszésterületeit.

Általában a LED Gauss-alapja nagy, 66 nm, tehát ha ismerjük a domináns hullámhosszat, és közelítjük a LED-sugárzást egy parabolahoz, akkor tudjuk, hogy a relatív parabola metszeni fogja az x tengelyt λ+33 és λ-33 esetén.

Ez a modell megközelíti a LED -ek teljes fényét parabola segítségével. De tudjuk, hogy ha pontosak akarunk lenni, ez nem teljesen helyes, akkor Gauss -görbéket kell használnunk, ami elvezet minket a következő lépéshez.

3. lépés: Bevezetés a Gauss -görbebe

A Gauss -féle görbe összetettebb hangzású, mint egy parabola. Gauss találta ki a hibák értelmezésére. Valójában ez a görbe nagyon hasznos látni egy jelenség valószínűségi eloszlását. Amint balról vagy jobbra haladunk az átlagtól, egy bizonyos jelenség ritkábban fordul elő, és amint az utolsó képen is látható, ez a görbe nagyon jó közelítése a valós eseményeknek.

A Gauss -formula az a félelmetes, amelyet második képként lát.

A Gauss -tulajdonságok a következők:

- szimmetrikus az átlaghoz viszonyítva;

- x = μ nemcsak egybeesik a számtani átlaggal, hanem a mediánnal és a móddal is;

- minden oldalon aszimptotikus az x tengelyen;

- xμ -ra csökken;

- két inflexiós pontja van x = μ-σ-ban;

- a görbe alatti terület 1 egység (annak a valószínűsége, hogy bármely x ellenőrizni fogja)

σ a szórás, minél nagyobb a szám, annál szélesebb a Gauss -bázis (első kép). Ha egy érték a 3σ részben van, akkor tudnánk, hogy valóban eltávolodik az átlagtól, és kisebb a valószínűsége annak, hogy ez megtörténjen.

Esetünkben a LED -ek esetében ismerjük a Gauss -tartományt, amely a gyártó adatlapján megadott fényáram egy adott hullámhosszú csúcson (ez az átlag).

4. lépés: Bemutató a Geogebra segítségével

Ebben a részben azt mutatom be, hogyan használhatod a Geogebra -t annak bemutatására, hogy egy parabola 2,19 -szerese a Gauss -értékének.

Először létre kell hoznia egy pár változót, kattintson a csúszka parancsra:

A szórás σ = 0,1 (a szórás határozza meg, hogy milyen széles a Gauss -görbe, kis értéket adok, mert szűkíteni akartam, hogy szimulálja a LED spektrális teljesítményeloszlását)

Az átlag 0, így a Gauss az y tengelyre épül, ahol könnyebb dolgozni.

Kattintson a kis hullám funkcióra a funkció rész aktiválásához; ott az fx -re kattintva beszúrhatja a Gauss -képletet, és megjelenik a képernyőn egy szép magas Gauss -görbe.

Grafikusan látni fogja, hogy a görbe hol konvergál az x tengelyen, az én esetemben X1 (-0,4; 0) és X2 (+0,4; 0), és hol van a csúcs V (0; 4) -ben.

Ezzel a három ponttal elegendő információval rendelkezik a parabola egyenletének megtalálásához. Ha nem szeretne kézi számítást végezni, használja ezt a webhelyet vagy a táblázatot a következő lépésben.

A függvényparanccsal (fx) töltse ki az imént talált parabola függvényt:

y = -25x^2 +4

Most meg kell értenünk, hogy hány gauss van egy parabolában.

Használnia kell a function parancsot, és be kell illesztenie az Integral parancsot (vagy az én esetemben az Integrale -t, mivel az olasz verziót használtam). A határozott integrál az a matematikai művelet, amely lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámítsuk egy függvény területét x értékek között. Ha nem emlékszel, hogy mi a határozott integrál, akkor olvasd el itt.

a = integrál (f, -0,4, +0,4)

Ez a Geogebra -képlet megoldja az f függvény, a Gauss -féle definiált integrált -0,4 és +0,4 között. Mivel Gauss -szal van dolgunk, területe 1.

Tegye ugyanezt a parabola esetében, és felfedezi a 2.13 varázsszámot. Melyik a legfontosabb szám a LED -ek összes fényáram -átalakításához.

5. lépés: Példa a valós életre LED -ekkel: Az áramlási csúcs és az átfedő fluxus kiszámítása

FÉNYES FLUX A CSÚCSON

Nagyon könnyű kiszámítani a LED -fluxus -eloszlás kevert Gauss -görbéinek tényleges magasságát, most, hogy felfedeztük a 2.19 -es konverziós tényezőt.

például:

A KÉK LED 11 lm fényárammal rendelkezik

- ezt a fluxust Gauss -ból parabolikusra konvertáljuk 11 x 2,19 = 24,09

- Archimedes -tétel segítségével kiszámítjuk a relatív téglalap területét, amely tartalmazza a 24,09 x 3/2 = 36,14 parabolát

- a kék színű Gauss -talp osztó téglalapjának magasságát megtaláljuk a KÉK LED -ben, az adatlapban megadva vagy az adatlap táblázatán látható, általában 66 nm körül, és ez a hatalmunk a 480 nm -es csúcson: 36,14 / 66 = 0,55

TÖKÉLETES FÉNYES FLUX TERÜLETEK

Két átfedő sugárzás kiszámításához egy példával magyarázom a következő két LED -et:

A KÉK 480 nm és 11 lm fényáramú ZÖLD 530 nm és 35 lm fényáram

Tudjuk és látjuk a diagramból, hogy mindkét Gauss -görbe -33 nm és +33 nm között konvergál, következésképpen tudjuk, hogy:

- A KÉK metszi az x tengelyt 447 nm és 531 nm között

- ZÖLD metszi az x tengelyt 497 nm és 563 nm között

Világosan látjuk, hogy a két görbe metszi egymást, mivel az első egyik vége a másik eleje után van (531nm> 497nm), így e két LED fénye egyes helyeken átfedésben van.

Először is ki kell számolnunk a parabola egyenletet mindkettőre. A mellékelt táblázat segít a számításokban, és beágyazta a képleteket az egyenletrendszer megoldásához, hogy meghatározza a két parabolat, ismerve az x tengely metsző pontokat és a csúcsot:

KÉK parabola: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ZÖLD parabola: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

mindkét esetben a> 0 és, tehát a parabola helyesen fejjel lefelé mutat.

Annak bizonyítására, hogy ezeknek a parabolaoknak igaza van, töltse ki az a, b, c értékeket a csúcsszámológépben ezen a parabola számológép webhelyen.

A táblázatban már minden számítást elvégeztek, hogy megkeressék a parabolak közötti metszéspontokat, és kiszámítsák a határozott integrált, hogy megkapják a parabolak metsző területeit.

Esetünkben a kék és zöld LED -spektrumok metsző területei 0,4247.

Ha megvannak az egymást keresztező parabolák, megszorozhatjuk ezt az újonnan létrehozott metszésterületet a 0,4694 -es Gauss -szorzóhoz, és nagyon közelítő megközelítést találhatunk arról, hogy a LED -ek összesen mennyi energiát bocsátanak ki a spektrum ezen szakaszában. Az adott szakaszban kibocsátott egyetlen LED -fluxus megtalálásához csak ossza el 2 -vel.

6. lépés: A kísérleti lámpa monokromatikus LED -jeinek tanulmányozása befejeződött

Nos, nagyon köszönöm, hogy elolvasta ezt a kutatást. Remélem, hasznos lesz számodra, ha mélyen megérted, hogyan bocsát ki fényt egy lámpa.

Háromféle monokromatikus LED -del készült speciális lámpa LED -jeinek fényáramát tanulmányoztam.

A lámpa előállításához szükséges "összetevők":

- 3 LED BLU

- 4 LED ZÖLD

- 3 LED PIROS

- 3 ellenállás a LED áramkör ágai áramának korlátozására

- 12V 35W tápegység

- Dombornyomott akril borítás

- OSRAM OT BLE DIM vezérlés (Bluetooth LED vezérlőegység)

- Alumínium hűtőborda

- M5 félkövér betűk és anyák és L zárójelek

Irányítson mindent az okostelefon Casambi APP -jával, külön -külön be- és elsötétítheti a LED -csatornákat.

A lámpa építése nagyon egyszerű:

- kétoldalas szalaggal rögzítse a LED-et a hűtőbordához;

- forrasztja sorba az összes BLU LED -et ellenállással, és tegye ugyanezt a másik színnel az áramkör minden ágához. A választott LED -ek szerint (én a Lumileds LED -et használtam) az ellenállás méretét kell kiválasztani a LED -be táplált áram és a 12 V -os tápfeszültség által adott teljes feszültség függvényében. Ha nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, javaslom, hogy olvassa el ezt a nagyszerű útmutatót arról, hogyan lehet meghatározni egy ellenállás méretét, hogy korlátozza a LED -ek áramát.

-Csatlakoztassa a vezetékeket az Osram OT BLE minden csatornájához: a LED -ek ágainak összes fő pozitívja a közös (+), az ágak három negatívja pedig -B (kék) -G (zöld)) -R (piros).

- Csatlakoztassa a tápegységet az Osram OT BLE bemenetéhez.

Az Osram OT BLE -ben most az a menő, hogy forgatókönyveket hozhat létre és programozhatja a LED -csatornákat, amint azt a videó első részében láthatom, hogy a három csatornát tompítom, a videó második részében pedig néhányat használok. előre elkészített fényforgatókönyvek.

KÖVETKEZTETÉSEK

Sokat használtam a matematikát, hogy mélyen megértsem, hogyan fognak terjedni e lámpák fluxusa.

Nagyon remélem, hogy ma valami hasznosat tanult, és minden tőlem telhetőt megteszek annak érdekében, hogy még több ilyen mélyreható alkalmazott kutatást tanítsak.

A kutatás a kulcs!

Elég hosszú!

Pietro